Игорь Владимирович
Фроленков
Личный сайт
Все люди делятся на шариков и кубиков: кубики - это те, которые не сдвинутся с места, пока им не дашь под зад, а шарики - катятся сами, надо только задать направление...
 
      
 
 

Онлайн лаборатория




А зачем это нужно? Об обратных и некорректных задачах...

Поделитесь с друзьями:

Об обратных задачах

При изучении физических объектов или явлений экспериментальными методами типична ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта недоступны для непосредственного наблюдения или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений). Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами.

Тем не менее, практически всегда можно получить некоторую косвенную информацию об исследуемом объекте, по которой возможно сделать заключение о его свойствах. Данная информация определяется природой изучаемого объекта и используемым экспериментальным комплексом. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются математическая обработка и интерпретация результатов наблюдений.

Речь идет о задачах, в которых нужно определить причины, если известны полученные в результате наблюдения следствия. Например, определить место и мощность землетрясения по измеренным на поверхности земли колебаниям. При обработке данных натурных экспериментов по дополнительным косвенным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему ее идентификации, например определение коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, границы области, граничных или начальных условий. Такие задачи относятся к классу обратных задач математической физики и в настоящий момент играют большую роль в естественных науках и их приложениях.


В целом под обратными задачами понимаются задачи, решение которых проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и заключается в определении параметров данной модели по имеющимся результатам наблюдений и другой экспериментальной информации.

Первые публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине XX века. Они были связаны с исследованиями физиков (обратные задачи квантовой теории рассеяния, электродинамики, акустики), геофизиков (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областей естествознания.

С появлением мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы. Главные направления применения — это геофизика, астрономия, визуализация данных, медицинская и промышленная томография, дефектоскопия и дистанционное зондирование и многое другое.

В прямых задачах  математической физики исследователи стремятся найти (в явной форме или приближенно) функции, описывающие различные физические явления, например, распространение звука, тепла, сейсмических колебаний, электромагнитных волн и так далее. При этом свойства среды (коэффициенты уравнений), а также начальное состояние процесса (в нестационарном случае) или его свойства на границе (в случае ограниченной области и/или в стационарном случае) предполагаются известными. Однако именно свойства среды на практике часто являются неизвестными. А это означает, что необходимо ставить и решать обратные задачи, в которых требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо неизвестные начальные или граничные условия, либо местоположение, границы и другие свойства области, в которой происходит исследуемый процесс.

Эти задачи в большинстве случаев некорректны (т.е. в этих задачах нарушено хотя бы одно из трех свойств корректности — условие существования, единственности и устойчивости решения по отношению к малым вариациям данных задачи). А искомыми коэффициентами уравнений являются, как правило, плотность, электропроводность, теплопроводность и другие важные свойства исследуемой среды. Также очень часто в обратных задачах требуется найти местоположение, форму и структуру включений, дефектов, источников (тепла, колебаний, напряжения, загрязнения) и так далее.

Неудивительно, что при таком широком наборе приложений, теория обратных и некорректных задач с момента своего появления стала одной из наиболее стремительно развивающихся областей современной науки. Основы теории обратных и некорректных задач были заложены в СССР, начиная с середины XX века.

За последние 30 лет исследованы обратные задачи, возникающие в сейсморазведке, электродинамике, медицине, химии, акустике, биологии. Авторами и соавторами научных работ были сотрудники многих институтов СО РАН (ИМ, ИВМиМГ, ИНГГ, ИК, ИЦиГ, ИТ), Томографического центра СО РАН, компаний «Шлюмберже», «Бэйкер Хьюз», «Интел», а также исследователи из Австрии, Бразилии, Германии, Италии, Казахстана, Китая, США, Турции, Узбекистана, Швеции, Японии.

Изначально одной из основных целей исследования был вопрос единственности решения обратных задач. Особенно это важно для обратных задач геофизики, медицины, неразрушающего контроля. Теорема единственности решения в таких задачах позволяет ответить на вопрос, сколько и каких измерений достаточно провести для того, чтобы быть уверенным в том, что данным измерениям соответствует только один объект (например, месторождение полезных ископаемых в геофизике, или какие-либо изменения внутренних органов в медицине, или скрытое нарушение структуры в дефектоскопии).

Следующие важнейшие вопросы - это существование решения и оценки устойчивости решения обратных задач по отношению к ошибкам измерений (без которых не обходится ни один эксперимент).

История

Как известно, многие математические понятия и постановки задач возникали в результате исследования тех или иных физических процессов или явлений. Тем более это справедливо для теории обратных и некорректных задач.
  • Философское утверждение Платона о том, что человечеству в процессе познания доступны только тени на стене пещеры и эхо (данные обратной задачи), явилось предвестником решения Аристотелем задачи восстановления формы Земли по ее тени на Луне (проективная геометрия).
  • Введение физического понятия мгновенной скорости привело И. Ньютона к открытию производной, а проблема неустойчивости (некорректности) задачи численного дифференцирования функции, заданной приближенно, актуальна и по сей день.
  • Исследования лорда Рэлея по акустике побудили его поставить вопрос о возможности нахождения плотности неоднородной струны по ее звучанию (обратная задача акустики), что предвосхитило развитие сейсморазведки, с одной стороны, и развитие теории спектральных обратных задач, с другой.
  • Изучение движения небесных тел и задачи оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, привело А. Лежандра и К. Гаусса к переопределенным системам алгебраических уравнений и к созданию метода наименьших квадратов.
  • О. Коши предложил метод наискорейшего спуска для нахождения минимума функции нескольких переменных. В 1948 году Л. В. Канторович обобщил, развил и применил эти идеи к операторным уравнениям в гильбертовых пространствах. В настоящее время метод наискорейшего спуска, наряду с методом сопряженных градиентов, являются одними из самых популярных при решении некорректных задач. Стоит отметить, что Л. В. Канторович первым обратил внимание на то, что предложенный им метод сходится лишь по функционалу в случае, когда задача некорректна.

Таким образом, отдельные обратные и некорректные задачи с давних пор были объектом исследования ученых в разных областях знания. Тем не менее, математические особенности некорректных задач были сформулированы Адамаром только в начале XX века, а вместе с тем встал вопрос о целесообразности поиска единого подхода к решению таких задач.

Тезис о том, что некорректных задач нет, а есть задачи плохо поставленные, одних исследователей охлаждал, а других побуждал искать новые пути к решению этих «неправильных» задач. Р. Куранту убежденность в том, что неустойчивые задачи не имеют физического смысла, не помешала решить сильно некорректную задачу восстановления функции по ее сферическим средним. С. Л. Соболев в 1953-55 гг. был научным консультантом В. К. Иванова по докторской диссертации «Исследования по обратной задаче теории потенциала», давшей теоретическое обоснование ряда обратных задач гравиразведки.

Из классической теоремы Коши-Ковалевской следует, что решение широкого круга обратных и некорректных задач существует и единственно, но лишь в классе аналитических функций. Л. В. Овсянников доказал, что требование аналитичности по выводящей переменной можно существенно ослабить. В. Г. Романов, развивая метод шкал банаховых пространств Л. В. Овсянникова и Л. Ниренберга, показал, что для широкого круга обратных задач можно избавиться от условия аналитичности по двум переменным — по выводящей пространственной переменной и по временной переменной. Эти исследования открыли дорогу к изучению многомерных обратных задач геофизики, базовой моделью в которой является горизонтально-слоистая среда.

В одной статье невозможно рассказать обо всех аспектах теории обратных задач и ее приложений. Упомянем лишь два направления, существенный вклад в зарождение и развитие которых внесли ученые, работавшие в новосибирском Академгородке — В. Е. Захаров и А. Б. Шабат (метод обратной задачи рассеяния), А. С. Алексеев и С. В. Гольдин (обратные задачи геофизики). Метод обратной задачи рассеяния был применен для решения нелинейных уравнений математической физики (уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др.) и стимулировал новые исследования в различных областях математики и физики (спектральная теория дифференциальных операторов, классическая алгебраическая геометрия, релятивистские струны и др.).

Метод обратной задачи рассеяния называют жемчужиной математической физики ХХ века. Результаты А. С. Алексеева и С. В. Гольдина по применению в геофизике спектральной теории обратных задач и интегральной геометрии стали теоретической основой многих геофизических методов (обратные кинематические и динамические задачи сейсмики). Отметим, что признанные успехи нынешнего поколения сибирских геофизиков во многом определены их высокой математической подготовкой на геолого-геофизическом факультете НГУ. Автору статьи посчастливилось работать на кафедре геофизики в те годы, когда там был создан творческий союз преподавателей геофизиков (С. В. Гольдин, Л. А. Табаровский, М. И. Эпов, Ю. А. Дашевский и др.) и математиков (М. М. Лаврентьев, А. С. Алексеев, В. Г. Романов, Т. А. Годунова и др.).

Обсуждения о том, какую математику и в каком объеме следует давать геофизикам, регулярно проводились на собраниях преподавателей, а споры часто напоминали дискуссии на научных конференциях. Сейчас сотрудники и выпускники этой кафедры руководят научными институтами (ИНГГ, ИВМиМГ, Югорский НИИИТ и др.), активно работают в крупных компаниях («Шлюмберже», «Дженерал Электрик», «Интел», «Бейкер Хьюз» и др.). Список примеров можно было бы продолжить, но отметим лишь, что всемирно признанными основоположниками теории некорректных задач являются А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и М. М. Лаврентьев. В работах этих ученых были заложены основы теории обратных и некорректных задач.

Одной из главных стала идея о том, что при исследовании некорректных задач необходимо сузить класс возможных решений. При этом важнейшую роль играет выбор множества, в котором ищется приближенное решение (множество корректности). Чаще всего это множество выбирают компактным, что дает возможность обосновать сходимость регуляризирующих алгоритмов, помогает выбрать параметр регуляризации, оценить уклонение приближенного решения от точного решения некорректной задачи. Результаты математических исследований были применены для решения ряда конкретных обратных задач геофизики, радиолокации, астрономии, медицинской томографии.

За выдающиеся научные результаты в этом направлении А. Н. Тихонов и В. К. Иванов были удостоены Ленинской премии, а позднее М. М. Лаврентьев, Ю. Е. Аниконов, В. Р. Кирейтов, В. Г. Романов и С. П. Шишатский стали лауреатами Государственной премии. С конца двадцатого века и по настоящее время в математике и во всех естественных науках наблюдается небывалый рост интереса к обратным и некорректным задачам.

За очень короткий исторический отрезок времени были учреждены четыре крупных международных журнала (главным редактором одного из них, а именно «Inverse and Ill-Posed Problems», является академик М. М. Лаврентьев). Активно работают международные организации «Inverse Problems International Association» и «Society on Inverse Problems in Science and Engineering».

Ежегодно в мире проходят десятки крупных конференций по различным аспектам теории и приложений обратных задач (подробности о журналах, ассоциациях и конференциях можно найти на личной интернет-странице автора статьи (С.И. Кабанихина) на сайте Института математики СО РАН).


Источники/См. также



Поделитесь с друзьями:
 

Ваши комментарии:

Вконтакте

Facebook