НАУКА

Область моих научных интересов касается разработки эффективных методов исследования различных обратных задач математической физики, и в этом направлении уже получены новые значительные результаты для широких классов задач. Исследованы вопросы корректности линейных, квази- и полулинейных коэффициентных обратных задач для параболических уравнений с данными Коши.

Полученные результаты актуальны и имеют отношение к развитию естественнонаучной и промышленной отраслей Сибири и России.

С развитием электронных вычислительных комплексов область приложения обратных задач математической физики охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы исследования. Типична ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта (например, свойства среды, начальное состояние процесса или его поведение на границе области) недоступны для непосредственного наблюдения, или проведение самого эксперимента вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений). Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В таких ситуациях для диагностики объектов (например, их внутренней структуры) требуются дополнительные наблюдения, их математическая обработка и интерпретация результатов. То есть необходимо исследовать обратные задачи, в которых требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо неизвестные начальные или граничные условия, либо местоположение, границы и другие свойства области, в которой происходит исследуемый процесс.

Обратные задачи в настоящее время активно используются в геофизике, сейсморазведке, электродинамике, астрофизике, медицине, химии, акустике, биологии, экологии и др. областях. Изначально одним из основных направлений исследования был вопрос единственности решения обратных задач. Это особенно важно для обратных задач геофизики, медицины, неразрушающего контроля. Большинство из указанных отраслей (особенно, касающиеся медицины, добывающей промышленности, геолого-разведочных работ) определены распоряжением Правительства РФ приоритетными отраслями социально-экономического развития Сибири в 2010 – 2020.

Приведу некоторые слова С.И.Кабанихина об обратных задачах. Первые публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине XX века. Они были связаны с исследованиями физиков (обратные задачи квантовой теории рассеяния, электродинамики, акустики), геофизиков (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областей естествознания. Всемирно признанными основоположниками теории некорректных задач являются А.Н.Тихонов, В.К.Иванов и М.М.Лаврентьев. В работах этих ученых были заложены основы теории обратных и некорректных задач. На сегодняшний день теория обратных задач математической физики активно развивается и интерес к обратным и некорректным задачам в математике и естественных науках неуклонно растет. Результаты математических исследований были применены для решения ряда конкретных обратных задач геофизики, радиолокации, астрономии, медицинской томографии. Специалисты в области обратных задач активно работают во многих институтах СО РАН (ИМ, ИВМиМГ, ИНГГ, ИК, ИЦиГ, ИТ) и крупных компаниях «Шлюмберже», «Дженерал Электрик», «Интел», «Бейкер Хьюз» и др. Тем не менее, в последние десятилетия по известным причинам лидерство российской школы по обратным и некорректным задачам пошатнулось. Много способных специалистов, в том числе молодых, уехали из страны. И если за рубежом издано уже более 11 тысяч книг, в названии которых есть слова «inverse problems», то в России такие книги появляются все реже и реже. 

Поэтому с особенной гордостью я могу отметить, что в Институте математики СФУ работает очень сильная научная школа по обратным задачам под руководством д.ф.-м.н., проф. Ю.Я. Белова, которая регулярно проводит научные семинары и обсуждения, научные конференции и публикует результаты исследований в ведущих научных журналах. 

Активно работают международные организации «Inverse Problems International Association» и «Society on Inverse Problems in Science and Engineering». Ежегодно в мире проходят десятки крупных конференций по различным аспектам теории и приложений обратных задач, в которых я стараюсь принимать посильное участие.

Результаты моих исследований носят больше теоретический характер и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач математической физики. Схема всех проведенных исследований может быть использована/адаптирована для реальных физических моделей, имеющих сходную структуру. По результатам  исследований формируются упрощенные модельные примеры задач, которые регулярно включаются в лекционные курсы "Теория и методы решения нелинейных дифференциальных уравнений" и "Обратные задачи математической физики" в рамках магистерской программы "Математическая физика" института математики Сибирского федерального университета. Новые результаты включаются в учебные пособия, которые публикуют сотрудники нашей кафедры.